3.67 \(\int \frac{(e x)^m}{(a+b x)^3 (a d-b d x)^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=98 \[ \frac{b (e x)^{m+2} \, _2F_1\left (4,\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^8 d^4 e^2 (m+2)}+\frac{(e x)^{m+1} \, _2F_1\left (4,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^7 d^4 e (m+1)} \]

[Out]

((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^7*d^4*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 +
m)*Hypergeometric2F1[4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^8*d^4*e^2*(2 + m))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0408033, antiderivative size = 98, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 3, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.125, Rules used = {82, 73, 364} \[ \frac{b (e x)^{m+2} \, _2F_1\left (4,\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^8 d^4 e^2 (m+2)}+\frac{(e x)^{m+1} \, _2F_1\left (4,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^7 d^4 e (m+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(e*x)^m/((a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^4),x]

[Out]

((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^7*d^4*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 +
m)*Hypergeometric2F1[4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^8*d^4*e^2*(2 + m))

Rule 82

Int[((f_.)*(x_))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Dist[a, Int[(a + b*
x)^n*(c + d*x)^n*(f*x)^p, x], x] + Dist[b/f, Int[(a + b*x)^n*(c + d*x)^n*(f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m - n - 1, 0] &&  !RationalQ[p] &&  !IGtQ[m, 0] && NeQ[m +
n + p + 2, 0]

Rule 73

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a*c + b*
d*x^2)^m*(e + f*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[n, m] && Integer
Q[m]

Rule 364

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a^p*(c*x)^(m + 1)*Hypergeometric2F1[-
p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, -((b*x^n)/a)])/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(e x)^m}{(a+b x)^3 (a d-b d x)^4} \, dx &=a \int \frac{(e x)^m}{(a+b x)^4 (a d-b d x)^4} \, dx+\frac{b \int \frac{(e x)^{1+m}}{(a+b x)^4 (a d-b d x)^4} \, dx}{e}\\ &=a \int \frac{(e x)^m}{\left (a^2 d-b^2 d x^2\right )^4} \, dx+\frac{b \int \frac{(e x)^{1+m}}{\left (a^2 d-b^2 d x^2\right )^4} \, dx}{e}\\ &=\frac{(e x)^{1+m} \, _2F_1\left (4,\frac{1+m}{2};\frac{3+m}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^7 d^4 e (1+m)}+\frac{b (e x)^{2+m} \, _2F_1\left (4,\frac{2+m}{2};\frac{4+m}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^8 d^4 e^2 (2+m)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0327948, size = 87, normalized size = 0.89 \[ \frac{x (e x)^m \left (b (m+1) x \, _2F_1\left (4,\frac{m}{2}+1;\frac{m}{2}+2;\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )+a (m+2) \, _2F_1\left (4,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )\right )}{a^8 d^4 (m+1) (m+2)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(e*x)^m/((a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^4),x]

[Out]

(x*(e*x)^m*(b*(1 + m)*x*Hypergeometric2F1[4, 1 + m/2, 2 + m/2, (b^2*x^2)/a^2] + a*(2 + m)*Hypergeometric2F1[4,
(1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2]))/(a^8*d^4*(1 + m)*(2 + m))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.098, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( ex \right ) ^{m}}{ \left ( bx+a \right ) ^{3} \left ( -bdx+ad \right ) ^{4}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x)

[Out]

int((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e x\right )^{m}}{{\left (b d x - a d\right )}^{4}{\left (b x + a\right )}^{3}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\left (e x\right )^{m}}{b^{7} d^{4} x^{7} - a b^{6} d^{4} x^{6} - 3 \, a^{2} b^{5} d^{4} x^{5} + 3 \, a^{3} b^{4} d^{4} x^{4} + 3 \, a^{4} b^{3} d^{4} x^{3} - 3 \, a^{5} b^{2} d^{4} x^{2} - a^{6} b d^{4} x + a^{7} d^{4}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((e*x)^m/(b^7*d^4*x^7 - a*b^6*d^4*x^6 - 3*a^2*b^5*d^4*x^5 + 3*a^3*b^4*d^4*x^4 + 3*a^4*b^3*d^4*x^3 - 3*
a^5*b^2*d^4*x^2 - a^6*b*d^4*x + a^7*d^4), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [C]  time = 11.7416, size = 8284, normalized size = 84.53 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)**m/(b*x+a)**3/(-b*d*x+a*d)**4,x)

[Out]

-2*a**5*e**m*m**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a
**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) -
96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a**5*e**m*m**3*x**m*lerchphi(a
/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 1
92*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 -
m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 3*a**5*e**m*m**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_p
olar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*
x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*
d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 31*a**5*e**m*m**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*
b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4
*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a**5
*e**m*m**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 -
m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(
1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a**5*e**m*m*x**m*lerc
hphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 -
m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamm
a(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*a**5*e**m*m*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*e
xp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d
**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b
**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 2*a**4*b*e**m*m**4*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96
*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a*
*8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) -
15*a**4*b*e**m*m**3*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) +
96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m
) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 3*a**4*b*e**m*m**3*x*x**m*ler
chphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*
d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b*
*5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 2*a**4*b*e**m*m**3*x*x**m*gamma(-m)/(-96*a*
*11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*
b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 31*
a**4*b*e**m*m**2*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*
a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) -
96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*a**4*b*e**m*m**2*x*x**m*lerch
phi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d*
*4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5
*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 20*a**4*b*e**m*m**2*x*x**m*gamma(-m)/(-96*a**
11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b
**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*a
**4*b*e**m*m*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**1
0*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*
a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a**4*b*e**m*m*x*x**m*lerchphi(a*e
xp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*ga
mma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x
**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 66*a**4*b*e**m*m*x*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*
gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x
**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 4*a**3*b**2*e*
*m*m**4*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*
b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a*
*7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 30*a**3*b**2*e**m*m**3*x**2*x**m*lerch
phi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m
) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma
(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 6*a**3*b**2*e**m*m**3*x**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b
*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*
a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m)
+ 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 62*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*p
i))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gam
ma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**
5*gamma(1 - m)) - 30*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gam
ma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 -
m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma
(1 - m)) + 4*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gam
ma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x*
*4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 30*a**3*b**2*e**m*m*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*
exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*
d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*
b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 30*a**3*b**2*e**m*m*x**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(
I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*
gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*
x**5*gamma(1 - m)) - 18*a**3*b**2*e**m*m*x**2*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d*
*4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5
*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 4*a**2*b**3*e**m*m**4*x**3*x**m*lerchphi(a/(b
*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*
a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m)
+ 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 30*a**2*b**3*e**m*m**3*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*p
i))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gam
ma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**
5*gamma(1 - m)) - 6*a**2*b**3*e**m*m**3*x**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamm
a(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m
) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(
1 - m)) - 4*a**2*b**3*e**m*m**3*x**3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamm
a(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**
4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 62*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1,
m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**
3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**
6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 30*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_p
olar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*
x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*
d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 32*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10
*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a
**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 30*a**2*b**3*e**m*m*x**3*x**m*lerchph
i(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m)
+ 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1
- m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 30*a**2*b**3*e**m*m*x**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x),
1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9
*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96
*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 62*a**2*b**3*e**m*m*x**3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) +
96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m
) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 2*a*b**4*e**m*m**4*x**4*x**m*
lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(
1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*
gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a*b**4*e**m*m**3*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp
_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**
4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**
6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 3*a*b**4*e**m*m**3*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi
))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamm
a(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5
*gamma(1 - m)) - 31*a*b**4*e**m*m**2*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*
d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d
**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a*b**4
*e**m*m**2*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma
(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*g
amma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 4*a*b**4*e**m*m**2*
x**4*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x*
*2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d*
*4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*a*b**4*e**m*m*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**1
1*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b*
*4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*a*
b**4*e**m*m*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamm
a(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*
gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 14*a*b**4*e**m*m*x
**4*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**
2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**
4*x**5*gamma(1 - m)) + 2*b**5*e**m*m**4*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11
*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**
4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*b**
5*e**m*m**3*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a*
*10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 9
6*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 3*b**5*e**m*m**3*x**5*x**m*lerchph
i(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4
*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d
**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 2*b**5*e**m*m**3*x**5*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11
*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**
4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 31*b**
5*e**m*m**2*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a*
*10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 9
6*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*b**5*e**m*m**2*x**5*x**m*lerchp
hi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**
4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*
d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 12*b**5*e**m*m**2*x**5*x**m*gamma(-m)/(-96*a**
11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b
**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) - 15*b
**5*e**m*m*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**
10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96
*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 15*b**5*e**m*m*x**5*x**m*lerchphi(a
*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*
gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4
*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m)) + 16*b**5*e**m*m*x**5*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d*
*4*gamma(1 - m) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(1 - m) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(1 - m) - 192*a**8*b**4*d**
4*x**3*gamma(1 - m) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(1 - m) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(1 - m))

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e x\right )^{m}}{{\left (b d x - a d\right )}^{4}{\left (b x + a\right )}^{3}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3), x)